Soal Jawab Fungsi Kuadrat Standar Uts, Uas, Us Tingkat Smk, Sma
Selamat tiba kembali di ilmu sains. Sekarang kita akan membahas mengenai matematika perihal Fungsi Kuadrat.
Kita akan berguru mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, memilih fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui klimaks grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya berdasarkan soal ialah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.
$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$
Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya ialah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.
Penyelesaian
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.
Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.
Sebaliknya jikalau $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
Secara geometri, korelasi nilai diskriminan dengan sumbu $X$ ialah sebagai berikut
Oleh alasannya pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik mempunyai nilai diskriminan nol.
Sehingga
$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$
Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumusan berikut
$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi
$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$
Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga
$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.
Penyelesaian
$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$
Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat mempunyai peranan penting, salah satunya menyerupai pada soal.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.
Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.
Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu mempunyai sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.
Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu
$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$
Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut ialah $80$ meter.
Kita akan berguru mengenai sifat-sifat fungsi kuadrat, memilih fungsi kuadrat dan penerapan fungsi kuadrat.
Petunjuk
Rumus-rumus ditulis memakai $\LaTeX$ dengan JavaScript khusus $\LaTeX$ untuk me-loading-nya. Gunakan internet berkecepatan cukup semoga sanggup me-loading kode $\LaTeX$ 100%. Bila terjadi Math Error berwarna merah, lakukan reload page !
Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Puncak dan Satu Titik Lainnya
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik $( -1, 9 )$ dan melalui titik $(3, - 7)$ ialah ... .
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui klimaks grafik $\displaystyle (y_{p},x_{p})$ dan satu titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumusan berikut \[f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}\]
Titik puncanya berdasarkan soal ialah $( -1, 9 )$, berarti $\displaystyle x_{p}=-1$ dan $\displaystyle y_{p}=9$.
$f(x)=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=a(x+1)^{2}+9\,\,\,.\,.\,.\,(1)$
Substitusikan titik $(3, - 7)$ ke persamaan $(1)$ sehingga diperoleh:
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -7=a(3+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow -16=16a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Substitusikan nilai $a=-1$ ke persamaan $(1)$ di atas, maka
$\displaystyle f(x)=a(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x+1)^{2}+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x+1)+9$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+8$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya ialah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+8$.
Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Nilai $m$ yang memenuhi semoga grafik fungsi kuadrat $\displaystyle f(x)=x^{2}+mx+1$ menyinggung sumbu-$X$ ialah ...
Penyelesaian
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dikelompokkan menjadi dua, yaitu berdasar nilai $a$ dan berdasarkan nilai diskriminan $D$.
Jika $a>0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrim / titik balik minimum, $y_{min}$.
Sebaliknya jikalau $a<0$ maka grafik atau kurvanya terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrim / titik balik maksimum, $y_{maks}$.
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat $y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah $\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
Secara geometri, korelasi nilai diskriminan dengan sumbu $X$ ialah sebagai berikut
- Jika $D>0$, maka grafik memotong sumbu $X$ di dua titik berbeda
- Jika $D=0$, maka grafik menyinggung sumbu $X$ di sebuah titik
- Jika $D<0$, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu $X$
Oleh alasannya pada soal disebutkan grafik menyinggung sumbu $X$, maka dipastikan grafik mempunyai nilai diskriminan nol.
Sehingga
$\displaystyle D=b^{2}-4.a.c$
$\displaystyle \Leftrightarrow 0=m^{2}-4.1.1$
$\displaystyle \Leftrightarrow m^{2}=4$
$\displaystyle \Leftrightarrow m=\pm \sqrt{4}$
Jadi, $\displaystyle m=-2$ dan $\displaystyle m=2$
Menentukan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Dua Titik Potong Terhadap Sumbu $X$ dan Satu Titik Lain
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu $X$ di titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ dan memotong sumbu -$Y$ di titik $\displaystyle (0,3)$
Penyelesaian
Persamaan fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu $X$ dan satu titik lainnya sanggup ditentukan dengan rumusan berikut
$\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Titik $\displaystyle (1,0)$ , $\displaystyle (-3,0)$ disubstitusikan ke $\displaystyle f(x)$ menjadi
$\displaystyle f(x)=a(x-1)(x+3)$
Kemudian, substitusikan titik $\displaystyle (0,3)$ ke persamaan tersebut sehingga menjadi
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=a(0-1)(0+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3=-3a$
$\displaystyle \Leftrightarrow a=-1$
Nilai $a=-1$ yang sudah ketemu ini, kita substitusikan ulang ke persamaan dasar di atas, sehingga
$\displaystyle f(x)=-1(x-1)(x+3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-1(x^{2}+2x-3)$
$\displaystyle \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}-2x+3$
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adaah $\displaystyle f(x)=-x^{2}-2x+3$.
Penerapan Fungsi Kuadrat
Lintasan sebuah peluru yang ditembakkan $h(t)$ vertikal ke atas setinggi $h$ meter dalam waktu $t$ detik dinyatakan dengan rumus $\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ . Tentukan tinggi maksimum peluru tersebut !
Penyelesaian
$\displaystyle h(t)=40t-5t^{2}$ ; $a=-5$, $b=40$, dan $c=0$
Dalam penerapan di kehidupan sehari-hari, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat mempunyai peranan penting, salah satunya menyerupai pada soal.
Perhatikan bahwa fungsi tersebut fungsi ketinggian terhadap waktu.
Tinggi, $h$ sebagai variabel terikat dan waktu, $t$ sebagai variabel bebas.
Dalam bentuk kurva/grafik, fungsi ketinggian terhadap waktu mempunyai sumbu vertikal $h$ dan sumbu horizontal $t$.
Karena itu, ketinggian maksimum, $h_{maks}$ terjadi di titik balik maksimum, $y_{m}$, yaitu
$\displaystyle y_{m}=-\frac{D}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(b^{2}-4.a.c)}{4a}$
$\displaystyle =-\frac{(40^{2}-4(-5)(0))}{4a}=80$
Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut ialah $80$ meter.
